上一篇文章讲述了$Ax=0$的解和矩阵$A$的零空间，这里我们讨论$Ax=b$的解以及矩阵$A$的列空间。
$Ax=0$是肯定有解的，因为总存在$x$为全零向量，使得方程组成立。而$Ax=b$是不一定有解的，我们需要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了$Ax=0$的解的矩阵$A$来举例说明：
我们可以得到上述方程组的增广矩阵(等式右侧不是全零向量，消元时值会改变，所以需要用增广矩阵)如下：
然后我们进行高斯消元可以得到：
从上面的矩阵可以看出，等式成立必须有：
我们假设一个满足上面条件的b向量，例如：$b=[1, 5, 1+5]$;并且令两个自由变量$x_2=0, x_4=0$，则我们将消元后的矩阵写成方程组的形式如下：
得到的解为：
$x_c$是这个方程组的一个特解，因为当$x_2, x_4$取不同的值时，会得到不同的特解。那么我们如何得到方程的同解呢？即怎样用一般形式来表示所有的特解？
求解$Ax=b$的过程：
1、求解特解$x_c$
2、求解$Ax=0$的解$x_n$
$Ax=b$的解就是特解$x_c+x_n$，证明如下：
$x_c$我们上面已经得到，$x_n$在上一篇文章中得到，则通解可以表示为：
至此，我们就得到了$Ax=b$的解。
通过上面的分析求解，我们知道当$b$满足下式时，方程组有解：
$b_3-b_2-b_1=0$
实际上，方程有解的条件是向量$b$属于矩阵$A$的列空间，即向量$b$可以表示为矩阵$A$的各列的线性组合。例如上面的例子：
方程的解就是矩阵$A$中各列前面的系数。
下面推广到更一般的情况，我们以矩阵$A$的不同情况来看解的结构(假设矩阵$A$为$m\times n$的矩阵,秩为$r$)：
1、$r=n< m$，即列满秩(所有列都有主元)
由于所有列都有主元，则自由变量的个数为$0$，矩阵$A$的零空间中只有零向量。$Ax=b$的解的个数为$0$个或者$1$个.
举例说明：
当$b=[4, 3, 6, 7]$时，$Ax=b$的唯一解为$x=[1, 1]$。
2、$r=m<n$，即行满秩(所有行都有主元)
由于所有行都有主元，消元后不会出现全为$0$的行，则$Ax=b$有无穷多解。且自由变量的个数为$n-r$，矩阵$A$的零空间中不只有零向量。
例如：
3、$r=m=n$，即列、行都满秩(矩阵可逆)
由于列、行都满秩，则具有列满秩，行满秩的一些性质：零空间只有零向量，方程总有解且解唯一。
4、$r<m, r<n$，非满秩矩阵
$Ax=b$有无穷多解或则没有解。
从上面的四种情况的讨论，我们可以总结如下：
如果想看一个线性方程组的解的情况，我们可以通过高斯消元法得到矩阵$A$的最简形式$R$，$R$的可能情况如下：
这四种情况分别对应的解的情况为：
- 唯一解或无解
- 无穷多解
- 唯一解
- 无解或无穷多解
